Volver a Guía
Ir al curso
CURSO RELACIONADO
Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰
Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
11.
Sea $f(x)=x^{2} \ln x$
a) ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación $f(x)=-\frac{1}{6}$ ?
a) ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación $f(x)=-\frac{1}{6}$ ?
Respuesta
Para responder esta pregunta vamos a hacer un estudio de función completo de $f(x)$
Reportar problema
$\textbf{1)}$ Identificamos el dominio de $f(x)$
El dominio de $f$ es $(0,+\infty)$.
$\textbf{2)}$ Asíntotas
- Asíntotas verticales: Como el dominio es $(0,+\infty)$, el $0$ es candidato a asíntota vertical. Tomamos límite cuando $x$ tiende a $0$ por derecha para ver el comportamiento de la función:
$ \lim_{x \to 0^+} x^2 \ln(x)$
Acordate que $\ln(x)$ tiende a $-\infty$ cuando lo adentro tiende a cero, por lo tanto estamos frente a una indeterminación de tipo "cero por infinito". Vamos a reescribir $f(x)$ de una manera conveniente para poder aplicar L'Hopital.
$ \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{1/x^2} $
Ahora tenemos una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", impecable, aplicamos L'Hopital.
$ \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-2/x^3} = \lim_{x \to 0^+} \frac{-x^3}{2x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{-x^2}{2} = 0 $
En $x=0$ no tenemos asíntota vertical
- Asíntotas horizontales: Tomamos el límite cuando $x$ tiende a $+\infty$
\( \lim_{x \to +\infty} x^2 \ln(x) = +\infty \)
Por lo tanto, $f$ no tiene asíntota horizontal
$\textbf{3)}$ Calculamos \( f'(x) \):
\( f'(x) = 2x \ln(x) + x^2 \cdot (1/x) \)
Simplificamos:
\( f'(x) = 2x \ln(x) + x \)
$\textbf{4)}$Igualamos \( f'(x) \) a cero para obtener los "puntos críticos", nuestros candidatos a máximos y mínimos:
\( 2x \ln(x) + x = 0 \)
Sacamos factor común $x$:
\( x (2 \ln(x) + 1) = 0 \)
Acordate que $x$ nunca vale cero (mirá el dominio de la función). Por lo tanto, tenemos que pedir que lo del paréntesis sea cero:
\( 2 \ln(x) + 1 = 0 \)
\( \ln(x) = -1/2 \)
\( e^{\ln(x)} = e^{-1/2} \)
\( x = e^{-1/2} \)
El punto crítico es \( x = e^{-1/2} \).
$\textbf{5)}$ Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) \( 0 < x < e^{-1/2} \)
b) \( x > e^{-1/2} \)
$\textbf{6)}$ Evaluamos el signo de \( f'(x) \) en cada uno de los intervalos:
- Para \( 0 < x < e^{-1/2} \), \( f'(x) \) es negativa y entonces la función es decreciente.
- Para \( x > e^{-1/2} \), \( f'(x) \) es positiva y entonces la función es creciente.
Con toda la información que tenemos ya podemos graficar $f(x)$. Te dejo acá abajo el gráfico hecho en GeoGebra... y de paso, ya voy a ir marcando por donde anda $y = -1/6$, que lo vamos a necesitar para responder a la pregunta del enunciado:
Entonces ya estamos, mirando el gráfico vemos que la ecuación $f(x)=-\frac{1}{6}$ tiene dos soluciones.